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Visión general de la teoría de optimización

Las técnicas de optimización se utilizan para encontrar un conjunto de parámetros de diseño, x = {x1,x2,...,xn}, que puede definirse de alguna manera como óptimo. En un caso simple, este proceso puede consistir en la minimización o maximización de alguna característica del sistema que dependa de x. En una formulación más avanzada, la función objetivo f(x), que se desea minimizar o maximizar, puede estar sujeta a restricciones de uno o varios de estos tipos:

  • Restricciones de igualdad, Gi(x) = 0 ( i = 1,...,me)

  • Restricciones de desigualdad, Gi( x) ≤ 0 (i = me + 1,...,m)

  • Límites de parámetros, xl, xu, donde xlxxu, algunas xl pueden ser –∞ y algunas xu pueden ser ∞

La descripción de un problema general (GP) se indica como

minxf(x),(1)

sujeto a

Gi(x)=0i=1,...,meGi(x)0i=me+1,...,mxlxxu,

donde x es el vector de longitud n parámetros de diseño, f(x) es la función objetivo (que devuelve un valor escalar) y la función vectorial G(x) devuelve un vector de longitud m que contiene los valores de las restricciones de igualdad y desigualdad evaluadas en x.

Encontrar una solución eficiente y precisa para este problema no solo depende del tamaño del problema en términos del número de restricciones y variables de diseño, sino también de las características de la función objetivo y las restricciones. Cuando tanto la función objetivo como las restricciones son funciones lineales de la variable de diseño, el problema se conoce como un problema de programación lineal (LP). La programación cuadrática (QP) está relacionada con la minimización o maximización de una función objetivo cuadrática que tiene restricciones lineales. En la actualidad hay disponibles procedimientos de resolución fiables tanto para problemas LP como QP. Más difícil es resolver el problema de programación no lineal (NP), en el que la función objetivo y las restricciones pueden ser funciones no lineales de las variables de diseño. Una solución para el problema NP normalmente requiere un procedimiento de iteración para establecer una dirección de búsqueda en cada iteración principal. Esta solución generalmente se logra con la solución de un subproblema LP, QP o sin restricciones.

Toda la optimización se realiza en números reales. No obstante, los problemas de mínimos cuadrados no restringidos y la resolución de ecuaciones pueden formularse con funciones analíticas complejas. Consulte Números complejos en solvers de Optimization Toolbox.