Funciones para modelos polinomiales de MATLAB

Dos funciones de MATLAB^® pueden modelar sus datos con un polinomio.

Si está intentando modelar una situación física, siempre es importante considerar si un modelo de un orden específico es significativo en su situación.

Modelo lineal con términos no polinómicos

En este ejemplo se muestra cómo ajustar los datos con un modelo lineal que contiene términos no polinómicos.

Cuando una función polinómica no produce un modelo satisfactorio de los datos, puede intentar utilizar un modelo lineal con términos no polinómicos. Por ejemplo, considere la siguiente función que es lineal en los parámetros $$a_0$$, $$a_1$$ y $$a_2$$, pero no lineal en los datos $$t$$:

Puede calcular los coeficientes desconocidos $$a_0$$, $$a_1$$ y $$a_2$$ construyendo y resolviendo un conjunto de ecuaciones simultáneas y resolviendo los parámetros. La sintaxis siguiente logra esto formando una matriz de diseño, donde cada columna representa una variable que se utiliza para predecir la respuesta (un término en el modelo) y cada fila corresponde a una observación de esas variables.

Introduzca t e y como vectores columna.

t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';
y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25]';

Forme la matriz de diseño.

X = [ones(size(t))  exp(-t)  t.*exp(-t)];

Calcule los coeficientes del modelo.

a = X\y

a = 3×1

    1.3983
   -0.8860
    0.3085

Por lo tanto, el modelo de los datos viene dado por

Ahora evalúe el modelo en puntos espaciados regularmente y represente el modelo con los datos originales.

T = (0:0.1:2.5)';
Y = [ones(size(T))  exp(-T)  T.*exp(-T)]*a;
plot(T,Y,'-',t,y,'o'), grid on
title('Plot of Model and Original Data')

Regresión múltiple

En este ejemplo se muestra cómo utilizar la regresión múltiple para modelar datos que son una función de más de una variable predictora.

Cuando y es una función de más de una variable predictora, las ecuaciones de matriz que expresan las relaciones entre las variables deben expandirse para dar cabida a los datos adicionales. Esto se llama regresión múltiple.

Mida una cantidad $$y$$ para varios valores de $$x_1$$ y $$x_2$$. Almacene estos valores en vectores x1, x2, e y, respectivamente.

x1 = [.2 .5 .6 .8 1.0 1.1]';
x2 = [.1 .3 .4 .9 1.1 1.4]';
y  = [.17 .26 .28 .23 .27 .24]';

Un modelo de estos datos es de la forma

La regresión múltiple resuelve los coeficientes desconocidos $$a_0$$, $$a_1$$, y $$a_2$$ minimizando la suma de los cuadrados de las desviaciones de los datos del modelo (ajuste de mínimos cuadrados).

Construya y resuelva el conjunto de ecuaciones simultáneas formando una matriz de diseño, X.

X = [ones(size(x1))  x1  x2];

Resuelva los parámetros mediante el operador de barra invertida.

a = X\y

a = 3×1

    0.1018
    0.4844
   -0.2847

El modelo de ajuste de mínimos cuadrados de los datos es

Para validar el modelo, busque el máximo del valor absoluto de la desviación de los datos del modelo.

Y = X*a;
MaxErr = max(abs(Y - y))

MaxErr = 0.0038

Este valor es mucho menor que cualquiera de los valores de datos, lo que indica que este modelo sigue con precisión los datos.

Ajuste programático

En este ejemplo se muestra cómo utilizar las funciones de MATLAB para:

• Calcular coeficientes de correlación

• Ajustar un polinomio a los datos

• Representar y calcular límites de confianza

Cargue los datos del censo de muestra de census.mat, que contiene datos de población de EE. UU. de los años 1790 a 1990.

load census

Esto añade las dos variables siguientes al área de trabajo de MATLAB.

Represente los datos.

plot(cdate,pop,'ro')
title('U.S. Population from 1790 to 1990')

La gráfica muestra un patrón sólido, que indica una alta correlación entre las variables.

corrcoef(cdate,pop)

ans = 2×2

    1.0000    0.9597
    0.9597    1.0000

[p,ErrorEst] = polyfit(cdate,pop,2);

pop_fit = polyval(p,cdate,ErrorEst);

plot(cdate,pop_fit,'-',cdate,pop,'+');
title('U.S. Population from 1790 to 1990')
legend('Polynomial Model','Data','Location','NorthWest');
xlabel('Census Year');
ylabel('Population (millions)');

res = pop - pop_fit;
figure, plot(cdate,res,'+')
title('Residuals for the Quadratic Polynomial Model')

[pop_fit,delta] = polyval(p,cdate,ErrorEst);

plot(cdate,pop,'+',...
     cdate,pop_fit,'g-',...
     cdate,pop_fit+2*delta,'r:',...
     cdate,pop_fit-2*delta,'r:'); 
xlabel('Census Year');
ylabel('Population (millions)');
title('Quadratic Polynomial Fit with Confidence Bounds')
grid on