lyap

Solución de la ecuación continua de Lyapunov

Sintaxis

lyap X = lyap(A,Q) X = lyap(A,B,C) X = lyap(A,Q,[],E)

Descripción

lyap resuelve las formas generales y especiales de la ecuación de Lyapunov. Las ecuaciones de Lyapunov surgen en diferentes áreas de control, entre las que se incluyen la teoría de la estabilidad y el estudio del comportamiento de la media cuadrática de sistemas.

X = lyap(A,Q) resuelve la ecuación de Lyapunov

$A X + X A^{T} + Q = 0$

donde A y Q representan matrices cuadradas de tamaños idénticos. Si Q es una matriz simétrica, la solución X también es una matriz simétrica.

X = lyap(A,B,C) resuelve la ecuación de Sylvester

$A X + X B + C = 0$

Las matrices A, B y C deben tener dimensiones compatibles, pero no es necesario que sean cuadradas.

X = lyap(A,Q,[],E) resuelve la ecuación generalizada de Lyapunov

$A X E^{T} + E X A^{T} + Q = 0$

donde Q es una matriz simétrica. Debe utilizar corchetes vacíos [] para esta función. Si introduce algún valor dentro de los corchetes, la función dará error.

Limitaciones

La ecuación continua de Lyapunov tiene una única solución si los valores propios $α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}$ de A y $β_{1}, β_{2}, ..., β_{n}$ de B cumplen lo siguiente

$α_{i} + β_{j} \neq 0 f o r a l l p a i r s (i, j)$

Si no se cumple esta condición, lyap aparece el mensaje de error:

Solution does not exist or is not unique.

Ejemplos

Ejemplo 1

Resuelva la ecuación de Lyapunov

Resuelva la ecuación de Lyapunov

$A X + X A^{T} + Q = 0$

donde

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 3 & - 4 \end{matrix}] Q = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$

La matriz A es estable y la matriz Q es definida positiva.

A = [1 2; -3 -4];  
Q = [3 1; 1 1];
X = lyap(A,Q)

Estos comandos devuelven la siguiente matriz X:

X =

    6.1667   -3.8333
   -3.8333    3.0000

Puede calcular los valores propios para comprobar que X es definida positiva.

eig(X)

El comando devuelve el siguiente resultado:

ans =

    0.4359
    8.7308

Ejemplo 2

Resuelva la ecuación de Sylvester

Resuelva la ecuación de Sylvester

$A X + X B + C = 0$

donde

$A = 5 B = [\begin{matrix} 4 & 3 \\ 4 & 3 \end{matrix}] C = [\begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix}]$

A = 5;
B = [4 3; 4 3];
C = [2 1];
X = lyap(A,B,C)

Estos comandos devuelven la siguiente matriz X:

X =

   -0.2000   -0.0500

Algoritmos

lyap utiliza las rutinas de SLICOT SB03MD y SG03AD para las ecuaciones de Lyapunov y las rutinas SB04MD y ZTRSYL de SLICOT y LAPACK, respectivamente, para las ecuaciones de Sylvester.

Referencias

[1] Bartels, R.H. and G.W. Stewart, "Solution of the Matrix Equation AX + XB = C," Comm. of the ACM, Vol. 15, No. 9, 1972.

[2] Barraud, A.Y., “A numerical algorithm to solve A XA - X = Q,” IEEE^® Trans. Auto. Contr., AC-22, pp. 883–885, 1977.

[3] Hammarling, S.J., “Numerical solution of the stable, non-negative definite Lyapunov equation,” IMA J. Num. Anal., Vol. 2, pp. 303–325, 1982.

[4] Penzl, T., ”Numerical solution of generalized Lyapunov equations,” Advances in Comp. Math., Vol. 8, pp. 33–48, 1998.

[5] Golub, G.H., Nash, S. and Van Loan, C.F., “A Hessenberg-Schur method for the problem AX + XB = C,” IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, pp. 909–913, 1979.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

covar | dlyap