B-Splines y splines de suavizado
La definición de recursión de Cox-de Boor del j-ésimo B-spline con orden k y secuencia de nudos no decreciente viene dada por las siguientes fórmulas:
La página de referencia de la interfaz bspligui
enumera algunas de las propiedades básicas de los B-splines. Puede utilizar la interfaz para adquirir cierta experiencia con los B-splines. La propiedad más importante de los B-splines es el motivo por el que llevan la letra B en su nombre:
Todo espacio de polinomios por tramos (univariantes) de un orden dado tiene una Base formada por B-splines.
Propiedades de los B-splines
Como Bj,k es distinto de cero solo en el intervalo , el sistema lineal para los coeficientes de B-splines es anillado y fácil de resolver. Por ejemplo, para construir un spline s de orden k con la secuencia de nudos t1 ≤ t2 ≤--- ≤ tn+k de forma que s(xi)=yi para i=1, ..., n, utilice el sistema lineal
para los coeficientes desconocidos de B-splines aj en los que cada ecuación tiene como máximo k entradas distintas de cero.
Además, muchos hechos teóricos relativos a los splines son más fáciles de enunciar o demostrar en términos de B-splines. Por ejemplo, es posible emparejar únicamente datos arbitrarios en los sitios mediante un spline de orden k con la secuencia de nudos (t1, ..., tn+k) si y solo si Bj,k(xj)≠0 para todo j (condiciones de Schoenberg-Whitney). Los cálculos con B-splines se ven facilitados por sus relaciones de recurrencia estables, que también son útiles en la conversión de B-form a ppform. El funcional dual
ofrece una expresión útil para el j-ésimo coeficiente de B-spline del spline s en cuanto a su valor y derivadas en un sitio arbitrario τ entre tj y tj+k, y con ψj(t):=(tj+1–t)··· (tj+k–1–t)/(k–1)!. Puede utilizarse para demostrar que aj(s) guarda una estrecha relación con s en el intervalo [tj..tj+k] y parece el medio más eficaz para realizar la conversión de formato ppform a B-form.
Enfoque variacional y splines de suavizado
Este enfoque constructivo no es la única vía de acceso a los splines. En el enfoque variacional, se obtiene un spline como mejor interpolación, por ejemplo, como la función con la menor derivada m-ésima entre todas las que coinciden con valores de función prescritos en determinados sitios. Resulta que, entre los muchos splines de este tipo disponibles, solo los que son polinomios por tramos o, quizás, exponenciales por tramos han tenido mucho uso. Resulta de especial interés práctico el spline de suavizado s = sp que, para unos datos dados (xi,yi) con x∊[a..b], todo i, y dados las correspondientes ponderaciones positivas wi, y para un parámetro de suavizado p dado, minimiza
en todas las funciones f con m derivadas. Resulta que el spline de suavizado s es un spline de orden 2m con una ruptura en cada sitio de datos. El parámetro de suavizado, p, se elige ingeniosamente para conseguir el equilibrio adecuado entre querer que la medida de error
sea pequeña y querer que la medida de rugosidad
sea pequeña. La intención es que s contenga la mayor cantidad posible de información y la menor cantidad posible del supuesto ruido de los datos. Un enfoque para esto (utilizado en spaps
) es hacer que F(Dmf) sea lo más pequeño posible, a condición de que E(f) no sea mayor que una tolerancia prescrita. Por razones computacionales, spaps
utiliza el parámetro de suavizado (equivalente) ρ=p/(1–p), es decir, minimiza ρE(f) + F(Dmf). Además, a veces es útil utilizar la medida de rugosidad más flexible
siendo λ una función de ponderación positiva adecuada.