Introducción a la respuesta en frecuencia

La respuesta en frecuencia describe la respuesta en estado estacionario de un sistema a las entradas sinusoidales de frecuencias variables y permite a los ingenieros de sistemas de control analizar y diseñar sistemas de control en el dominio de la frecuencia.

Para comprender la importancia del dominio de la frecuencia, tomaremos como ejemplo una guitarra acústica. Si coloca un micrófono cerca de la caja de resonancia y puntea una cuerda (Figura 1, izquierda), la vibración de la cuerda resonará en la cavidad de la guitarra y producirá una onda de sonido que es capturada por el micrófono. Si observa la traza temporal de la señal capturada (Figura 1, derecha), notará que resulta difícil extraer información rápidamente sobre lo ocurrido.

Figura 1. La vibración resuena en la cavidad de la guitarra y produce una onda de sonido (izquierda). Traza temporal de la señal en el dominio del tiempo (derecha).

Si observa la misma señal en el dominio de la frecuencia con un analizador de espectro, o bien tomando una transformada de Fourier rápida (FFT) de la señal en el dominio del tiempo, se observará un pico de amplitud en cierta frecuencia (Figura 2, izquierda). Esa frecuencia pico es el tono subyacente que forma la nota que acaba de tocar en la guitarra. Si ajusta la clavija o presiona la cuerda en el cuello de la guitarra, cambiará la precarga o la longitud efectiva de esa cuerda. Esto aumentará o disminuirá la frecuencia de resonancia de la cuerda y producirá una nota distinta (Figura 2, derecha). Este simple análisis en el dominio de la frecuencia ilustra cómo la guitarra (el sistema) responde al punteo (la entrada del sistema).

Figura 2. Visualización de la misma señal en el dominio de la frecuencia (izquierda). La frecuencia de resonancia cambia cuando se aplica precarga a la cuerda (derecha).

Esta analogía se puede aplicar a otros sistemas para analizar la respuesta de un sistema a entradas o estímulos del entorno. Se puede obtener información sobre la dinámica del sistema, como frecuencia de un pico de resonancia, ganancia de CC, ancho de banda, retardo de fase, y márgenes de ganancia y fase de un sistema de lazo cerrado.

Cómo obtener la respuesta en frecuencia de un sistema

El siguiente gráfico ayuda a identificar el procedimiento (en gris) a seguir para obtener la respuesta en frecuencia de un sistema con MATLAB^® y Simulink^®.

Figura 3. Respuesta en frecuencia de un sistema con MATLAB y Simulink.

Si tiene una representación lineal del sistema en forma de función de transferencia o modelo de espacio de estados, puede representar la respuesta en frecuencia con uno de estos diagramas: diagrama de Bode, diagrama de Nyquist o diagrama de Nichols. El diagrama de Bode muestra la magnitud y la fase como funciones de la frecuencia de la señal de excitación (Figura 4).

Por ejemplo, dada la representación de la función de transferencia de un sistema $(H)$,

$$H(s) = {s^2+ 0,1s + 7,5\over s^4+0,12s^3+9s^2}.$$

puede representar su respuesta en frecuencia en MATLAB con los siguientes comandos:

$H = {tf([1 \quad 0,1\quad 7,5], [1 \quad 0,12 \quad 9 \quad 0 \quad 0]});$

$bode(H)$

Figura 4. Diagrama de Bode.

En algunos casos, no se dispone de una representación lineal del sistema.

Si tiene accesso a los datos de pruebas de E/S del sistema físico, puede utilizar el modelado basado en datos con System Identification Toolbox™ para identificar la función de transferencia, las representaciones del espacio de estados y los modelos de respuesta en frecuencia del sistema.
Si utiliza Simulink para modelar la dinámica del sistema, puede utilizar la app Model Linearizer de Simulink Control Design™ para linealizar el modelo con el fin de crear una aproximación lineal del espacio de estados del modelo de Simulink y representar la respuesta en frecuencia.
En caso de que no se puedan linealizar los modelos de Simulink debido a discontinuidades, puede recurrir a la estimación de la respuesta en frecuencia para estimar directamente un modelo de respuesta en frecuencia.

Figura 5. Estimación de la respuesta en frecuencia en Simulink.

Simulink Control Design proporciona dos métodos para estimar un modelo de respuesta en frecuencia de un sistema.

Estimación de la respuesta en frecuencia offline

La app Model Linearizer estimula el sistema con una señal de perturbación de entrada a frecuencias especificadas y registra la respuesta en la salida del modelo durante la simulación (Figura 5). Después de la simulación, las señales de entrada y salida registradas se procesan para calcular una respuesta en frecuencia del modelo.

Estimación de la respuesta en frecuencia online

La respuesta en frecuencia de una planta física se estima durante el funcionamiento en tiempo real con el bloque Frequency Response Estimator. Este bloque inyecta señales de prueba sinusoidales en la planta en el punto de funcionamiento nominal, y la respuesta en frecuencia se afina continuamente, a medida que se recopilan datos de la señal de salida.

La siguiente tabla muestra las señales de perturbación que se pueden inyectar en función de las necesidades de estimación de rango de frecuencia, precisión y velocidad de estimación.

Tipo de señal de entrada	Estimación offline/online	Rango de frecuencia (banda estrecha/ancha)	Precisión	Velocidad de estimación	Usar cuando…
			Escala de 1 (baja) a 5 (alta)
Sinestream	Offline, online	Banda estrecha	★★★★★	✓	El sistema contiene no linealidades o se requieren modelos de respuesta en frecuencia de alta precisión.
Chirp	Offline	Banda ancha	★★	★★★	El sistema es casi lineal en el rango de frecuencia. También es útil cuando se desea obtener una respuesta rápida para una gran cantidad de puntos de frecuencia.
PRBS	Offline	Banda ancha	★★	★★★	El sistema contiene componentes de conmutación de alta frecuencia, tales como sistemas de comunicaciones y de electrónica de potencia.
Paso	Offline	Banda ancha	✓	★★★	El sistema se estimula uniformemente en todas las frecuencias hasta la frecuencia de Nyquist.
Aleatoria	Offline	Banda ancha	★★	★★★	No sabe mucho sobre el sistema que se va a estimar.

En resumen, calcular la respuesta en frecuencia de un sistema es importante para analizar y diseñar sistemas de control. MATLAB y Simulink proporcionan diferentes métodos para obtener la respuesta en frecuencia de un sistema. Para obtener más información sobre estos métodos, consulte los ejemplos y las referencias que se ofrecen a continuación.